I believe (9!)^{99!) is even bigger

@ericd13 : No, your number is not bigger because the order of magnitude of 99! is 10^155 and the order of 9!^9! is 10^7600000...

Le nombre proposé par ericd13 est plus petit que celui proposé par mentou-06. 99! contient 155 chiffres tandis 9! à la puissance 9! en contient plus 7,6 millions.

Et pour parler de grands nombres, voici une petite histoire tout à fait réelle et dont la portée philosophique sur les mathématiques est loin d'être anecdotique : il s'agit de la réfutation d'une conjoncture triviale à remarquer sur les nombres premiers.
Tout d'abord, je rappelle qu'un nombre premier est un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 qui n'est divisible que par 1 et par lui-même.
Ensuite, constatons tout de suite que les nombres pairs autres que 2 sont divisibles par 2 et, donc, ne sont pas premiers. Donc, à part 2 lui-même, tous les nombres premiers sont impairs.
Les nombres impairs peuvent être considérés comme les successeurs des multiples de 2 : un nombre impair suit toujours un nombre pair.
Mais, comme les multiples de 4 sont des multiples de 2, il est classique de dire qu'un nombre impair est soit le successeur d'un multiple de 4 (ce qui se note être de la forme 4n+1) soit le prédécesseur d'un multiple de 4 (ce qui se note être de la forme 4n-1) s'il est le successeur d'un multiple de 2 qui n'est pas un multiple de 4...
On a remarqué très tôt que si l'on choisit un rang d'arrêt et que l'on compte les nombres premiers des deux formes, les 4n-1 sont plus (un tout petit peu plus) nombreux que les 4n+1.
Par exemple, si le rang d'arrêt est 20, les 4n-1 premiers sont 3; 7; 11 et 19 alors que les 4n+1 sont 5; 13 et 17. Si le rang d'arrêt est 100, 4n-1 : 3; 7; 11; 19; 23; 31; 43; 47; 59; 67; 71; 79; 83 alors que 4n+1 : 5; 13; 17; 29; 37; 41; 53; 61; 73; 89; 97 ce qui fait 13 contre 11.
La conjoncture est donc que les nombres premiers de la forme 4n-1 sont plus nombreux que ceux de la forme 4n+1.
Avant l'an 2000, un chercheur en théorie des nombres a loué du temps sur des supercalculateurs pour tester cette conjoncture à des rangs d'arrêt toujours plus élevés. Et il (ou, du moins, les supercalculateurs) ont trouvé un rang d'arrêt où cela n'était pas vrai ! La conjoncture devait donc être considérée comme fausse puisqu'elle l'est pour le rang d'arrêt 10 puissance 10 puissance 10 puissance 147. Ce dernier nombre est ce que les mathématiciens appellent un googol (oui, c'est de là que vient le nom du fameux moteur de recherche). Mais ce googol est vraiment très grand, tellement que même simplement le nombre de chiffres qu'il faut utiliser pour l'écrire en notation habituelle est supérieur au nombre de particules dans tout l'univers !
Portée philosophique de cela :
Doit-on considérer que la conjoncture est fausse alors qu'elle est vraie pour tous les rangs d'arrêt qui sont humainement accessibles ?
La plupart des mathématiciens répondront que oui car la vérité mathématique ne peut souffrir d'exceptions !

Et je viens de calculer le nombre de chiffres du grand nombre de mentou-06 : c'est un peu plus de 58 mille milliards de chiffres. Donc, en écrivant un chiffre par seconde, on mettrait environ 2 millions d'années à l'écrire.

Merci pour vos explications qui me rappellent ma jeunesse estudiantine !

Thank you